Der Flächeninhalt eines Quadrates ist immer gleich, ganz egal wie wir ihn berechnen. Wenn wir es also schaffen, den Flächeninhalt auf zwei verschiedene Arten zu berechnen, dann bedeutet das, dass die beiden Ausdrücke gleich sind. Also nennen wir den Flächeninhalt des Quadrates \(A\) und versuchen ihn auf zwei Arten zu berechnen.

Unsere erste Art den Flächeninhalt des Quadrats zu berechnen benutzt die Tatsache, dass für ein Quadrat mit Flächeninhalt \(A\) und Seitenlänge \(s\) \[ A = s^2 \] gilt. Wenn wir die Seitenlängen der Rechtecke in der ersten Reihe zählen, dann kommen wir darauf, dass die Seitenlänge \( s = 1 + 2+3+4\) ist. Es gilt also \[ A = (1+2+3+4)^2.\]

Für die zweite Art den Flächeninhalt unseres Quadrats zu berechnen müssen wir die Flächeninhalte der kleinen Quadrate und Rechtecke geschickt zusammenzählen.

Fangen wir mit dem kleinen \(1\times1\)-Rechteck in der linken oberen Ecke an. Es hat Flächeninhalt \[1^2 = 1 = 1^3.\]

Wenn wir die Flächeninhalte der beiden \(2\times1\)- und des \(2\times2\)-Rechtecks zusammenzählen kommen wir auf \[2\cdot 2\cdot 1 + 2^2 = 2^2+2^2 = 2\cdot 2^2 = 2^3.\]

Der Flächeninhalt der drei \(3\times3\)-Quadrate ist \[3\cdot 3^2 = 3^3.\]

Und für die beiden \(2\times4\)- und den drei \(4\times4\)-Rechtecken erhalten wir einen Flächeninhalt von \[2\cdot 2\cdot 4 + 3\cdot 4^2 = 4^2+3\cdot 4^2 = 4\cdot 4^2 = 4^3.\]

Da wir den Flächeninhalt des Quadrats erhalten, wenn wir die Flächeninhalte aller kleinen Rechtecke und Quadrate zusammenzählen, erhalten wir als zweite Formel \[A = 1^3+2^3+3^3+4^3.\]

Somit haben wir gezeigt, dass \[ A = 1^3+2^3+3^3+4^3 = (1+2+3+4)^2\] gilt.